概述

　　所謂信號處理是指對信號進(jìn)行濾波、變換、分析、加工、提取特征參數(shù)等的過程。在電子儀器和測量中，最典型的是用頻譜分析儀對信號進(jìn)行頻譜分析，從而了解和取得信號的頻率(或頻譜)特性。在現(xiàn)代計算機(jī)和相關(guān)的技術(shù)發(fā)展起來以前，這一過程只能用以硬線技術(shù)構(gòu)成的傳統(tǒng)的頻譜分析儀實現(xiàn)。眾所周知，這種傳統(tǒng)的頻譜分析儀，無論在設(shè)計制造還是所采用的元器件方面，都要求較高的水平。尤其是頻率范圍寬、指標(biāo)高的，設(shè)計制造的難度就更高，而其價格也非常昂貴。但是，自從計算機(jī)及隨之而興起的數(shù)字信號處理(即DSP〉技術(shù)日趨成熟和發(fā)展起來以后，解決信號頻譜分析的途徑，正在逐步由DSP所取代。

　　關(guān)于離散傅立葉變換和數(shù)字濾波

　　作為信號處理，和頻譜分析最直接相關(guān)的是傅立葉(Fourier)變換即FT。人們已經(jīng)熟知，離散傅立葉變換(即DFT)和數(shù)字濾波是DSP的基本內(nèi)容。目前，DFT已有許多實用有效的快速DFT算法即FFT算法和軟件，其性能主要決定于采樣(實際上還包括模/數(shù)轉(zhuǎn)換)率和CPU的運算速度。將任意信號(主要是反映客觀物理世界的各種變化量，而且多半是連續(xù)變化的模擬量)轉(zhuǎn)換為能夠由CPU處理的數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)這一過程稱為“數(shù)字化”，它包括采樣和量化兩個步驟，量化即通常所說的模/數(shù)轉(zhuǎn)換。采樣的速率和被處理的信號有關(guān)。為了保證數(shù)字化后的信號數(shù)據(jù)不喪失原信號的特性，采樣頻率應(yīng)大于或至少等于信號截止頻率的2倍。這就是著名的奈奎斯特(Nyquist)采樣定理，或稱奈奎斯特采樣率。奈奎斯特采樣定理是很容易證明的。至于CPU的運算速度，眾所周知，現(xiàn)在的微機(jī)已達(dá)數(shù)百甚至上千兆赫的水平。為了提高或?qū)崿F(xiàn)主要是FFT等運算的高速化，美國得州儀器公司(IT)很早開始就一直致力于專用的DSP芯片的研制和生產(chǎn)。著名TMS320系列芯片已為科技界所熟知。據(jù)最近報道，新的TMS320C64x的運行速度己高達(dá)600MHz，其內(nèi)核的8個功能單元能在每個周期同時執(zhí)行4組16位MAC運算或8組8位MAC運算。單個C64xDSP芯片能同時完成一個信道的MPEG4視頻編碼、一個信道的MPEG4視頻解碼和一個MPEG2視頻解碼，并仍有50%的余量留給多通道語音和數(shù)據(jù)編碼、自然，還有其他一些廠商也研制生產(chǎn)了不少品種專用或通用的DSP芯片。

　　在上一個世紀(jì)中，電濾波器的發(fā)展經(jīng)歷了從無源到有源和從模擬到數(shù)字兩個過程。高精度無源濾波器從設(shè)計到制造都是難度非常高的技術(shù)。有源濾波器雖然很大地改進(jìn)了濾波器的性能，也降低了一些制造工藝的難度，但從其性能的大幅度改進(jìn)，與其它信號處理技術(shù)的結(jié)合，實現(xiàn)的手段之便捷，還是要數(shù)數(shù)字濾波器后來居上。當(dāng)然，這和EDA技術(shù)的發(fā)展也有關(guān)系。

　　數(shù)字濾波器是一種離散系統(tǒng)，其特性或傳遞函數(shù)由以Z-變換為基礎(chǔ)的差分方程描述。數(shù)字濾波器分兩大類，即IIR有限脈沖響應(yīng)濾波器和FIR無限脈沖響應(yīng)濾波器。前者又稱為“遞歸式”濾波器，后者又稱為“非遞歸式”濾波器。人們可以根據(jù)對信號處理的要求，確定描述系統(tǒng)的差分方程，再根據(jù)差分方程設(shè)計出濾波器。濾波器的實現(xiàn)也有兩種方式，一種為純軟件方式，即成為一個算法軟件或軟件包;另一種為硬件方式，即設(shè)計成具體的硬線電路，甚至制成專用或通用的芯片。關(guān)于數(shù)字濾波器的設(shè)計方法和成熟的軟硬件產(chǎn)品，都不難獲得。這里不再詳述。

　　信號的其它正交變換

　　已知，傅立葉變換或傅立葉分析隱含這樣的意義：

　　EP一個信號是由其FT所得頻譜上各分量所代表的正弦波合成的。在這個意義上，我們把表示這些正弦波一組正交的正弦函數(shù)稱為傅立葉變換的正交基函數(shù)(也可以用復(fù)函數(shù)的形式表示)。研究表明，不僅正弦函數(shù)可以作為正交變換的基函數(shù)，而是只要滿足正交完備的函數(shù)系，都可以作為基函數(shù)，對信號進(jìn)行正交變換分解分析(正弦函數(shù)自然是正交完備的函數(shù)系)。因此，我們把這些變換籠統(tǒng)地稱為“正交變換”。實用中最使人感興趣的非正弦正交函數(shù)有雷德梅徹(Rademacher)函數(shù)、哈爾(Haar)函數(shù)和沃爾什(Wald)函數(shù)等。一段時期以來，用得最多的當(dāng)屬沃爾什函數(shù)，它是由沃爾什在1923年完備化的雷德梅徹函數(shù)。沃爾什函數(shù)是一組矩形波，其取值為1和-1，非常便于計算機(jī)運算。沃爾什函數(shù)有三種排列或編號方式，即按列率排列或沃爾什排列、佩利(Paley)排列和阿達(dá)瑪(Hadamard)排列。這三種排列各有特點.而以阿達(dá)瑪排列最便于快速計算。采用阿達(dá)瑪排列的沃爾什函數(shù)進(jìn)行的變換稱為沃爾什-阿達(dá)瑪變換，簡稱WHT或直稱阿達(dá)瑪變換。由于離散正交變換的運算常以矩陣乘法的方式完成，而沃爾什-阿達(dá)瑪函數(shù)組的矩陣形式只有1和-l兩種元素，同時這種阿達(dá)瑪短陣的規(guī)律性非常強(qiáng)，可以用簡單的算法產(chǎn)生，所以WHT的快速算法很容易實現(xiàn)�，F(xiàn)在，這種快速算法及其軟件已經(jīng)有很成熟的商品。當(dāng)然，在使用這種變換時我們必須記住，它所得出的譜是以短形波為基礎(chǔ)的。

　　另一種常用的正交變換是離散余弦變換DCT。已知，傅立葉變換的基函數(shù)是正弦函數(shù)，即其每一個分量是一個正弦波(或一個復(fù)向量)分量的次數(shù)決定該正弦波的頻率，而各個分量的相位則構(gòu)成信號的相位譜。也就是說，一個信號的傅立葉譜包括兩部分，一是幅度特性，一是相位特性;或者作為復(fù)向量的實部余弦分量和作為虛部的正弦分量。換句話說，僅僅幅度特性譜并不能完整地代表該信號，而必須補克相位特性才是完整的。這當(dāng)然既使表示和運算處理復(fù)雜化，又使表示信號的數(shù)據(jù)量加大。經(jīng)過研究表明，如果將信號坐標(biāo)的原點作適當(dāng)?shù)钠�移，就可以使變換后的結(jié)果，只存在正弦波的正弦分量或余弦分量二者中的一個。這就是正弦變換或余弦變換。信號處理中的離散余弦變換DCT，就是將信號坐標(biāo)的原點左移半個采樣間隔得到的。DCT具有很優(yōu)良的信息特性.且有有效的快速算法，所以在制定MPEG標(biāo)準(zhǔn)時，將它定為圖像壓縮編碼的標(biāo)準(zhǔn)變換。

　　這一節(jié)的最后，順便提一下離散K-L(KarhunenLover)變換。KLT通常被稱為最佳變換，因為采用KLT的濾波器和信息壓縮編碼失真最小。但由于KLT的變換基函數(shù)是不定的，而且至今沒有快速算法，所以只在特殊需要的場合才使用。

　　關(guān)于小波分析

　　我們注意到上述所有這些變換或分析，其對象都是平穩(wěn)信號甚或周期信號。以傅立葉分析來說，它的原始出發(fā)點是傅立葉級數(shù)，其數(shù)學(xué)定義表示，任一非正弦周期函數(shù)(信號)可以分解為元窮多個頻率為其基本頻率整倍數(shù)的正弦波(及一直流分量)之和。而對于傅立葉變換的積分，則是將其積分周期拓展至無窮形成的。實際上，頻率這一概念正是傅立葉在此工作中提出來的。而且這種把一個事物從一個“域”變換到另一個“域”，從而從新的角度或尺度對其進(jìn)行分析或表示的這種分析方法，在科學(xué)史上具有劃時代意義的創(chuàng)造，正是傅立葉提出來的。但是，人們也早就發(fā)現(xiàn)，像傅立葉變換之類的變換或分析工具，只能用來處理確定性的平穩(wěn)信號，對于突變的非平穩(wěn)信號則不能完成滿意的分析;而且傅立葉分析得出的是信號的整體頻譜，卻不能獲得信號的局部特性。因此，在20世紀(jì)80年代出現(xiàn)了加窗傅立葉變換。加窗傅立葉變換是一種局域化的時-頻分析方法，即將傳統(tǒng)的傅立葉變換的時域(或空域)至頻域的映射分析用加窗的方式結(jié)合起來，對局部的時間段(或空間間隔)進(jìn)行頻域分析，加窗傅立葉變換部分地解決了短時信號的分析問題。但它存在許多本質(zhì)上的缺陷，如對短時高頻信號，固然可以用縮小窗口寬度和采樣間隔的辦法適應(yīng)頻率的提高，但窗口太窄會降低頻率分辨率，而且對低頻分量也不適應(yīng)。因此，這就導(dǎo)致人們對新的變換(分析)方法的探求。小波(Wavelet)分析就是在這一背景下出現(xiàn)并很快得到應(yīng)用和發(fā)展的。

　　現(xiàn)在簡單介紹小波分析的概念。

　　設(shè)給定連續(xù)信號f(t)�？紤]到實際信號的分辨率總是有限的，從而可以將f(t)表示為以下階梯函數(shù)

　　式中n為整數(shù)，表示采樣點，Cn0=f(n)為樣本值，而

　　為其基函數(shù)或尺度函數(shù)。這時，若將采樣間隔加倍，則樣點數(shù)減半，而信號表示為

　　這樣一來，信號的數(shù)據(jù)量壓縮了一半。這就是所謂二分法�？疾於�分前后兩個信號的偏差

　　就是一個小波函數(shù).

　　有人解釋，“小波”就是小的波形。而“小”指它具有衰減性，“波”則是指波動性，即其振幅呈正負(fù)相同的振蕩形式。

　　小波函數(shù)ψ(t)能通過平移和伸縮生成L2(R)中的一組正交基：

　　{(ψ(2-kt-n)，k，n為整數(shù)}

　　從而可以將給定信號f(t)進(jìn)行分解：

　　通常，ψ(t)又稱小波基函數(shù)。小波基函數(shù)可以有不同式，前述哈爾函數(shù)就是一種常用的基函數(shù)。當(dāng)然，能夠作為小波基函數(shù)的，也還是它必須能展開成一組完備正交的函數(shù)系。

　　小波分析的發(fā)展非常迅速。雖然最早可以追溯到1900年希爾伯特(Hilbert)的論述，和1910年哈爾提出的規(guī)范正交基，但實際的主要工作還應(yīng)該是1984年法國的Morlet在分析地震波的局部性質(zhì)時，因傅立葉變換難以達(dá)到要求，因而引人小波概念。以后，Grossman對Morlet的信號按一個確定函數(shù)的伸縮、平移系進(jìn)行了研究，為小波分析的形成開了先河。

　　在諸多為小波分析作出巨大貢獻(xiàn)的科學(xué)工作者之中，1987年Maliat發(fā)表的Mallat算法無疑對推動小波分析的發(fā)展起了非常重要的作用。自然，在小波分析的發(fā)展中，我國許多科技工作者也作出了大的貢獻(xiàn)。

　　和前述其它分析變換一樣，小波變換也有連續(xù)和離散兩種形式。但由于小波函數(shù)通常都是短形脈沖波，因而離散處理相對比較容易，從而有時人們忽略了其差別。

　　小波變換除了適應(yīng)于處理突變(或時變)的非平穩(wěn)信號外，還具有一個非常有用的特性，即多分辨率特性。所謂多分辨率即在小波分析中，由于所采用的尺度函數(shù)不同，可以很容易地得到不同分辨率的結(jié)果。這在圖像信號的處理中已得到實際的應(yīng)用。

　　小波分析發(fā)展到現(xiàn)在，已經(jīng)取得許多成熟的成果，包括一批通用的算法、軟件以及固化的器件。例如AD公司推出的ADV611芯片，作為視頻圖像的編/解碼和壓縮，內(nèi)含小波濾波器，可以達(dá)到7500：1的壓縮比，圖像質(zhì)量良好。在儀器和測量的應(yīng)用中，也有許多成果，如有人把它用在X-射線譜信號的分析中，經(jīng)過小波變換處理的譜線信號，質(zhì)量得到大幅度的提高。可以預(yù)計，這種技術(shù)還將進(jìn)一步發(fā)展，得到更廣泛的應(yīng)用。

　　結(jié)束語

　　以上本文簡單介紹了當(dāng)前常見的信號處理特別是數(shù)字信號處理技術(shù)。但是，它們基本上都只適于對確定性信號進(jìn)行處理。在信號處理技術(shù)中還有一大類，稱為隨機(jī)信號處理或統(tǒng)計信號處理。這一類處理技術(shù)最廣泛地用于和噪聲及信號污操作斗爭，也有人稱為信號估計或信號復(fù)原，最具代表性的兩種技術(shù)就是維納(Weiner)濾波和卡爾曼(Kalmark)濾波.前者又稱為最小二乘方濾波，后者從自噪聲中恢復(fù)信號十分有效。其實它們都是很早就已經(jīng)提出，但只是在現(xiàn)代計算機(jī)和數(shù)字技術(shù)的發(fā)展下，才得到真正實際的應(yīng)用。因此我們最后簡單地提及，作為本文的結(jié)束。